Den enkle harmoniske bevægelse blev opfundet af den franske matematiker Baron Jean Baptiste Joseph Fourier i 1822. Edwin Armstrong (18. DEC 1890 til 1. FEB 1954) observerede svingninger i 1992 i deres eksperimenter, og Alexander Meissner (14. SEP 1883 til 3. JAN 1958) opfandt oscillatorer i marts 1993. Udtrykket harmonisk er et latinsk ord. Denne artikel diskuterer en oversigt over den harmoniske oscillator, som inkluderer dens definition, type og dens anvendelser.
Hvad er harmonisk oscillator?
Harmonisk oscillator defineres som en bevægelse, hvor kraften er direkte proportional med partiklen fra ligevægtspunktet, og den producerer output i en sinusformet bølgeform. Kraften, der forårsager harmonisk bevægelse kan matematisk udtrykkes som
F = -Kx
Hvor,
F = Gendannelseskraft
K = Fjederkonstant
X = afstand fra ligevægt
blokdiagram-af-harmonisk-oscillator
Der er et punkt i harmonisk bevægelse, hvor systemet oscillerer, og den kraft, der bringer massen igen og igen på det samme punkt, hvorfra den starter, kaldes kraften gendannelseskraft, og punktet kaldes ligevægtspunkt eller middelposition. Denne oscillator er også kendt som en lineær harmonisk oscillator . Energien strømmer fra aktiv komponenter til passive komponenter i oscillatoren.
Blokdiagram
Det blokdiagram over den harmoniske oscillator består af en forstærker og et feedback-netværk. Forstærkeren bruges til at forstærke signalerne, og at forstærkede signaler føres gennem et feedbacknetværk og genererer output. Hvor Vi er indgangsspændingen, Vo er udgangsspændingen, og Vf er feedback-spændingen.
Eksempel
Masse på en forår: Fjederen tilvejebringer gendannelseskraft, der accelererer massen, og gendannelseskraften udtrykkes som
F = ma
Hvor 'm' er massen og a er en acceleration.
mass-on-a-spring
Foråret består af en masse (m) og kraft (F). Når kraften trækker massen i et punkt x = 0 og kun afhænger af x - massens position, og fjederkonstanten er repræsenteret af en bogstav k.
Typer af harmonisk oscillator
Typer af denne oscillator inkluderer primært følgende.
Tvungen harmonisk oscillator
Når vi anvender ekstern kraft til systemets bevægelse, siges bevægelsen at være en tvungen harmonisk oscillator.
Dæmpet harmonisk oscillator
Denne oscillator er defineret som, når vi anvender ekstern kraft til systemet, reduceres oscillatorens bevægelse, og dens bevægelse siges at være dæmpet harmonisk bevægelse. Der er tre typer dæmpede harmoniske oscillatorer, de er
dæmpning-bølgeformer
Over dæmpet
Når systemet bevæger sig langsomt mod ligevægtspunktet, siges det at være en overdampet harmonisk oscillator.
Under dæmpet
Når systemet bevæger sig hurtigt mod ligevægtspunktet, siges det at være en overdampet harmonisk oscillator.
Kritisk dæmpet
Når systemet bevæger sig hurtigt som muligt uden at svinge omkring ligevægtspunktet, siges det at være en overdampet harmonisk oscillator.
Kvantum
Det er opfundet af Max Born, Werner Heisenberg og Wolfgang Pauli ved “University of Göttingen”. Ordet kvante er det latinske ord, og betydningen af kvante er en lille mængde energi.
Zero Point Energy
Nulpunktenergien er også kendt som jordtilstandsenergi. Det defineres, når jordtilstandsenergi altid er større end nul, og dette koncept opdages af Max Planck i Tyskland og formlen udviklet i 1990.
Gennemsnitlig energi ved dæmpet simpel harmonisk oscillatorligning
Der er to typer energier, de er kinetisk energi og potentiel energi. Summen af kinetisk energi og potentiel energi er lig med den samlede energi.
E = K + U ………………. Ligestilling (1)
Hvor E = Total energi
K = Kinetisk energi
U = Potentiel energi
Hvor k = k = 1/2 mvto………… ækv. (2)
U = 1/2 kxto………… ækv. (3)
oscillationscyklus- for gennemsnitsværdier
De gennemsnitlige værdier for kinetisk og potentiel energi pr. Svingningscyklus er lig med
Hvor vto= vto(TILto-xto) ……. ligning (4)
Stedfortræder eq (4) i eq (2) og eq (3) får
k = 1/2 m [wto(TILto-xto)]
= 1/2 m [Aw cos (wt + ø0)]to……. ligning (5)
U = 1/2 kxto
= 1/2 k [A sin (wt + ø0)]to……. ækv. (6)
Erstatning af ækv. (5) og ækv. (6) i ækv. (1) får den samlede energiværdi
E = 1/2 m [wto(TILto-xto)] + 1/2 kxto
= 1/2 m wto-1/2 m wtoTILto+ 1/2 kxto
= 1/2 m wtoTILto+1/2 xto(K-mwto) ……. ækv. (7)
Hvor mwto= K , erstat denne værdi i ækv. (7)
E = 1/2 K Ato- 1/2 Kxto+ 1/2 xto= 1/2 K Ato
Samlet energi (E) = 1/2 K Ato
Gennemsnitlige energier for en tidsperiode udtrykkes som
TILgns= Ugns= 1/2 (1/2 K Ato)
Harmonisk oscillatorbølgefunktion
Hamilton-operatøren udtrykkes som en sum af kinetisk energi og potentiel energi, og den udtrykkes som
ђ (Q) = T + V ……………… .eq (1)
Hvor ђ = hamitonske operatør
T = Kinetisk energi
V = Potentiel energi
For at generere bølgefunktionen skal vi kende Schrodinger-ligningen, og ligningen udtrykkes som
-đto/ 2μ * dtoѱυ(Q) / dQto+ 1 / 2KQtoѱυ(Q) = Eυѱυ(Q) …………. ækv. (2)
Hvor Q = den normale koordinats længde
Μ = Effektiv masse
K = Kraftkonstant
Schrodinger ligningsgrænsebetingelser er:
Ѱ (-∞) = ø
Ѱ (+ ∞) = 0
Vi kan også skrive eq (2) som
dtoѱυ(Q) / dQto+ 2μ / đto(Eυ-K / 2 * Qto) ѱυ(Q) = 0 ………… ækv. (3)
Parametre, der bruges til at løse en ligning er
β = ђ / √μk ……… .. ækv. (4)
dto/ dQto= 1 / βtodto/ dxto………… .. ækv. (5)
Erstat eq (4) og eq (5) i eq (3), så bliver differentialligningen for denne oscillator
dtoѱυ(Q) / dxto+ (2μbtoEυ/ đto- xto) ѱυ(x) = 0 ……… .. ækv. (6)
Det generelle udtryk for magtserier er
ΣC¬nx2 …………. ækv. (7)
En eksponentiel funktion udtrykkes som
exp (-xto/ 2) ………… ækv. (8)
eq (7) ganges med eq (8)
ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..ekv. (9)
Hermite-polynomer opnås ved hjælp af nedenstående ligning
ђυ(x) = (-1)υ* exp (xto) d / dxυ* exp (-xto) …………… .. ækv. (10)
Normaliseringskonstanten udtrykkes som
Nυ= (1/2υυ! √Π)1/2…………… .eq (11)
Det enkel harmonisk oscillatorløsning udtrykkes som
Ѱυ(x) = NυHυ(og) e-x2 / 2……………… ækv. (12)
Hvor Nυer normaliseringskonstanten
H υ er eremiten
er -x2 / toer Gaussian
En ligning (12) er den harmoniske oscillators bølgefunktion.
Denne tabel viser det første udtryk Hermite polynomer for de laveste energitilstande
υ | 0 | 1 | to | 3 |
Hυ(Y) | 1 | 2y | 4yto-to | 8 år3-12 år |
Bølgefunktionerne i enkel harmonisk oscillatorgraf for fire laveste energitilstande er vist i nedenstående figurer.
bølgefunktioner-af-harmonisk-oscillator
Sandsynlighedstæthederne for denne oscillator for de fire laveste energitilstande er vist i nedenstående figurer.
sandsynlighedsdensiteter-af-bølgeformer
Ansøgninger
Simple harmonisk oscillatorapplikationer inkluderer hovedsageligt følgende
- Audio- og videosystemer
- Radio og andre kommunikationsenheder
- Omformere , Alarmer
- Summere
- Dekorative lys
Fordele
Det fordelene ved den harmoniske oscillator er
- Billig
- Højfrekvent generation
- Høj effektivitet
- Billig
- Transportabel
- Økonomisk
Eksempler
Eksemplet på denne oscillator inkluderer følgende.
- Musikinstrumenter
- Simpelt pendul
- Massefjedersystem
- Svinge
- Bevægelsen fra urets hænder
- Bevægelsen af hjulene på biler, lastbiler, busser osv
Det er en type bevægelse, som vi kan observere på vores daglige baser. Harmonisk oscillator bølgefunktion ved hjælp af Schrodinger og ligninger af den harmoniske oscillator er afledt. Her er et spørgsmål, hvilken type bevægelse udført af bungee jumping?